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$1.$记$C:y^2=4|x|$的左右焦点为$F_1、F_2$.作$y=t(t>0$且$t\neq 2)$交$C$于$A、B$两点，梯形$ABF_2F_1$的中位线与$y$轴交点为$O_1$.

$(1)$求证：$\ang AO_1B+\ang F_1O_1F_2 = \pi$

$(2)$延长$AF_1、BF_2$交$C$的左右支于$D、E$.记梯形$DEF_2F_1$的中位线与$y$轴交点为$O_2$.求$\frac{|F_1O_2||F_2O_1|}{|O_1O_2|}$的值.

$(3)$连接$AO_1、DO_2$并延长交于点$R$，记$BE$与$y$轴交点为$T$.求证：$\triangle O_1F_2O_2$外接圆与$\triangle ADR$外接圆的两个交点在直线$RT$上.

$2.$在某个城市中，有正方形街道网，每两条相邻且平行...